Weihnachtsquiz 2018

Liebe Quizfreunde,

das gesamte Team vom Büro Brandl + Eltschig wünscht Ihnen allen ein gutes neues Jahr! Wir freuen uns über 107 Einsendungen, davon enthielten 83 die richtige Lösung. Unsere Glücksfeen Katharina, Luisa und Lena haben aus den richtigen Einsendungen die drei glücklichen Gewinner gezogen.

In diesem Jahr geht 

  • der 1. Preis, eine Kitchenaid Küchenmaschine aus dem Hause Grimm nach Freising, 
  • der 2. Preis, ein Profi-Akkuschrauberset aus dem Hause Praetner nach Freising und
  • der 3. Preis, ein Gutschein vom Bierhandwerk-Freising, ebenso nach Freising. 

Herzlichen Glückwunsch! 

Hier einige besonders schöne Lösungen:

Den Flächeninhalt der beiden Gesamtdreiecke kann man leicht errechnen, denn die Katheten sind bekannt. Das sind die beiden Seitenlinien, die jeweils vom rechten Winkel ausgehen. 

Die Gesamtfläche eines Gesamtdreiecks müsste dementsprechend betragen: 13 x 5 x 1/2 cm² = 32,5 cm²
Allerdings kommt man zu anderen Ergebnissen, wenn man bei den beiden Gesamtdreiecken jeweils die einzelnen Teilflächen zusammenrechnet.

Im Falle des oberen Gesamtdreiecks sind das die vier farbigen Flächen (rot, blau, grün und gelb). Die Summe ist: 5 cm² + 12 cm² + 7 cm² + 8 cm² = 32 cm²

Im Falle des unteren Gesamtdreiecks hingegen ist die Summe eine andere. Denn zu den vier farbigen Flächen kommt noch der eine Quadratzentimeter des fehlenden Quadrats hinzu.
Die Summe ist dann 33 cm².
Beim oberen Gesamtdreieck fehlt also in der Summe ein halber Quadratzentimeter, beim unteren Gesamtdreieck ist in der Summe ein halber zu viel. Das ist der mathematische Beweis dafür, dass etwas nicht stimmen kann.

Die Gesamtgebilde sind keine Dreiecke, sondern tatsächlich Vierecke.
Das rote und blaue Dreieck sind nur scheinbar gleich im geometrischen Sinn .
Ihre Winkel sind in Wirklichkeit verschieden.
Mathematisch lässt sich dies wie folgt beweisen:

Blaues Dreieck:
arctan( 2/5 ) = arctan ( 0,4 ) ≈ 21,8°

Rotes Dreieck:
arctan( 3/8 ) = arctan( 0,375 ) ≈ 20,56°

Zum Vergleich der Winkel eines Dreiecks mit Katheten der Länge von 13 und 5 (also entsprechend dem Gesamtdreieck):

arctan( 5/13 ) ≈ arctan( 0,385 ) ≈ 21,04°

Die beiden Gesamtdreiecke haben folglich nicht drei, sondern vier Ecken.

Davon ist eine Ecke allerdings kaum sichtbar. Sie befindet sich aber dennoch am Übergang vom roten zum blauen Dreieck.
Die oberen Kanten des roten und blauen Dreiecks erscheinen im angeblichen Gesamtdreieck als eine lange Gerade, als Hypotenuse des angeblichen Gesamtdreiecks. In Wirklichkeit hat die scheinbare lange Gerade einen Knick, das ist die vierte Ecke.
Das scheinbare obere Gesamtdreieck ist ein konkaves Viereck, und das scheinbare untere Gesamtdreieck ein konvexes Viereck. Die Flächeninhalte dieser beiden Vierecke unterscheiden sich um 1 cm². Dies entspricht dem fehlenden Quadrat.
Es handelt sich um eine optische Täuschung insofern, als die obere Kante nur scheinbar wie eine Gerade aussieht. Das Auge vermutet im Gesamtgebilde ein Dreieck und ist daher geneigt, den Knick zu übersehen. Es geht von einer einheitlichen Gesamtsteigung aus.
Man kann von dieser optischen Täuschung auch eine Papierversion herstellen. Dabei wird der Knick durch eine dick gezeichnete Randlinie verdeckt. Außerdem ist das Ausschneiden und Zusammenfügen zu ungenau, als dass man den Unterschied sehen könnte. :) :) :)

Für Ihre Teilnahme erhalten Sie einen Meterstab als kleines Dankeschön!

Beratende Ingenieure
Tragswerkplanung GmbH

Max-Lehner-Straße 18
D 85354 Freising

Rechtsweg ausgeschlossen